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   DingPeng: 因果推断简介之六：工具变量（instrumental variable）  | 数螺 | NAUT IDEA
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    DingPeng: 因果推断简介之六：工具变量（instrumental variable）
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         <h1 class="entry-title">
          因果推断简介之六：工具变量（instrumental variable）
         </h1>
         <div class="entry-meta">
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            <time class="entry-date" datetime="2013-08-28T12:42:57+00:00">
             2013/08/28
            </time>
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            经典理论
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            内生性
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            因果推断
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           、
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            工具变量
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           、
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            线性模型
           </a>
          </span>
          <span class="author vcard">
           <a class="url fn n" href="http://cos.name/author/dingpeng/" rel="author" title="查看所有由丁鹏发布的文章">
            丁鹏
           </a>
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        </header>
        <!-- .entry-header -->
        <div class="entry-content">
         <p>
          为了介绍工具变量，我们首先要从线性模型出发。毫无疑问，线性模型是理论和应用统计（包括计量经济学和流行病学等）最重要的工具；对线性模型的深刻理解，可以说就是对一大半统计理论的理解。下面的第一部分先对线性模型，尤其是线性模型背后的假设做一个回顾。
         </p>
         <h2>
          一 线性回归和最小二乘法
         </h2>
         <p>
          线性模型和最小二乘的理论起源于高斯的天文学研究，“回归”（regression）这个名字则是 Francis Galton 在研究优生学的时候提出来的。为了描述的方便，我们假定回归的自变量只有一维，比如个体 $i$ 是否接受某种处理（吸烟与否；参加某个工作；等等），记为 $D_i$。 回归的因变量也是一维，表示我们关心的结果（是否有肺癌；是否找到工作培训与否；等等），记为 $Y_i$。假定我们的研究中有 $n$ 个个体，下面的线性模型用于描述 $D$ 和 $Y$ 之间的“关系”：
         </p>
         <p>
          $$Y_i = \alpha + \beta D_i + \varepsilon_i, i=1, \cdots, n. \quad \quad (1)$$
          <br/>
          一般情形下，我们假定个体间是独立的。模型虽简单，我们还是有必要做一些解释。首先，我们这里的讨论都假定 $D_i$ 是随机变量，对应统计学中的随机设计 （random design）的情形；这和传统统计学中偏好的固定设计（fixed design）有点不同—那里假定 $D_i$ 总是固定的。（统计学源于实验设计，那里的解释变量都是可以控制的，因此统计学教科书有假定固定设计的传统。）假定 $D_i$ 是随机的，既符合很多社会科学和流行病学的背景，又会简化后面的讨论。另外一个问题是 $\varepsilon_i$，它到底是什么含义？Rubin 曾经嘲笑计量经济学家的 $\varepsilon_i$ 道：为了使得线性模型的等式成立，计量经济学家必须加的一项，就叫 $\varepsilon_i$。批评的存在并不影响这个线性模型的应用；关键的问题在于，我们在这个 $\varepsilon_i$ 上加了什么假定呢？最根本的假定是：
         </p>
         <p>
          $$
          <br/>
          E(\varepsilon_i) = 0, \text{ and }  \text{cov}(D_i, \varepsilon_i) = 0. \quad \quad (2)
          <br/>
          $$
          <br/>
          <span id="more-5166">
          </span>
          <br/>
          不同的教科书稍有不同，比如 Wooldridge 的书上假定 $E(\varepsilon_i\mid D_i ) =0$，很显然，这蕴含着上面两个假定。零均值的假定并不强，因为 $\alpha$ “吸收”了 $\varepsilon_i$ 的均值；关键在第二个协方差为零的假定—它通常被称为“外生性”（exogeneity）假定。在这个假定下，我们在 (1) 的两边关于 $D_i$ 取协方差，便可以得到：
         </p>
         <p>
          $$\text{cov}(Y_i, D_i )= \beta \text{var}(D_i),$$
         </p>
         <p>
          因此，$\beta = \text{cov}(Y_i, D_i) / \text{var}(D_i)$，我们立刻得到了矩估计：
         </p>
         <p>
          $$\widehat{\beta}_{OLS} =  \frac{ \sum_{i=1}^n (Y_i – \bar{Y}) (D_i – \bar{D}) } {  \sum_{i=1}^n (D_i – \bar{D})^2  }.$$
         </p>
         <p>
          上面的估计式也是通常的最小二乘解，这里只是换了一个推导方式。如果将 (1) 看成一个数据生成的机制，在假定 (2) 下我们的确可以估计出因果作用 $\beta$.
         </p>
         <h2>
          二 内生性和工具变量
         </h2>
         <p>
          问题的关键是假定 (2) 很多时候并不成立（$\text{cov}(D_i, \varepsilon_i)\neq 0$），比如，吸烟的人群和不吸烟的人群本身很不相同，参加工作培训的人可能比不参加工作培训的人有更强的找工作动机，等等。因此，包含个体 $i$ 其他所有隐藏信息的变量 $\varepsilon_i$ 不再与 $D_i$ 不相关了—这被称为“内生性”（endogeneity）。这个时候，最小二乘估计收敛到 $\beta + \text{cov}(D,\varepsilon)/\text{var}(D)$, 因而在 $\text{cov}(D,\varepsilon)\neq 0$ 时不再是 $\beta$ 的相合估计。
         </p>
         <p>
          前面几次因果推断的介绍中提到，完全的随机化实验，可以给我们有效的因果推断。但是很多问题中，强制性的随机化实验是不现实或者不符合伦理的。比如，我们不能强制某些人吸烟，或者不吸烟。但是，“鼓励性实验”依然可行。我们可以随机地给吸烟的人以某种金钱的奖励，如果他们放弃吸烟，则获得某种经济上的优惠。将这个“鼓励性”的变量记为 $Z_i$，它定义为是否被鼓励的示性变量，取值 0-1。由于我们的鼓励是完全随机的，有理由假定 $\text{cov}(Z_i, \varepsilon_i)=0$。
         </p>
         <p>
          以上的各个假定，可以用下面的一个图来形象的描述。
         </p>
         <p>
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          </a>
         </p>
         <p>
         </p>
         <p>
          如图所示，由于 $D$ 和 $Y$ 之间存在一个混杂因素 $U$，两者之间的因果作用是不可以用线性回归相合估计的。工具变量 $Z$ 的存在，使得 $D$ 到 $Y$ 的因果作用的识别成为了可能。这里的工具变量 $Z$ 满足如下的条件: $Z\perp U, Z\not \perp D$，并且 $Z\perp Y|(D,U)$。第三个条件，可以理解成为“无 $Z$ 到 $Y$ 的直接作用”。
         </p>
         <p>
          此时，我们在线性模型 (1) 两边关于 $Z_i$ 取协方差，得到
         </p>
         <p>
          $$\text{cov}(Z_i, Y_i) = \beta \text{cov} (Z_i, D_i),$$
         </p>
         <p>
          因此，$\beta = \frac{  \text{cov}(Z_i, Y_i)} {\text{cov} (Z_i, D_i) } $，我们立刻得到如下的矩估计：
         </p>
         <p>
          $$\widehat{\beta}_{IV} = \frac{ \sum_{i=1}^n (Y_i – \bar{Y}) (Z_i – \bar{Z})}{ \sum_{i=1}^n (D_i – \bar{D}) (Z_i – \bar{Z}) } .\quad \quad (3)$$
         </p>
         <p>
          根据大数定律，这个“工具变量估计”是 $\beta$ 的相合估计量。上面的式子对一般的 $Z_i$ 都是成立的；当 $Z_i$ 是 0-1 变量时，上面的式子可化简成：
         </p>
         <p>
          $$\widehat{\beta}_{IV} = \frac{  \bar{Y}_1 – \bar{Y}_0 } { \bar{D}_1 – \bar{D}_0 },$$
         </p>
         <p>
          其中 $\bar{Y}_1$ 表示 $Z_i=1$ 组的平均结果，$\bar{Y}_0$ 表示 $Z_i=0$ 组的平均结果，关于 $D$ 的定义类似。 上面的估计量，很多时候被称为 Wald 估计量（它的直观含义是什么呢？） 需要注意的是，(3) 要求 $\text{cov}(Z_i,D_i)\neq 0$，即“鼓励”对于改变人的吸烟行为是有效的；否则上面的工具变量估计量在大样本下趋于无穷大。
         </p>
         <h2>
          三 潜在结果视角下的因果作用
         </h2>
         <p>
          工具变量估计量在文献中存在已有很多年了，一直到了 Angrist, Imbens and Rubin (1996) 年的文章出现，才将它和潜在结果视角下的因果推断联系起来。关于 Neyman 引进的潜在结果，需要回顾这一系列的第二篇文章。
         </p>
         <p>
          一般地，$Z$ 表示一个 0-1 的变量，表示随机化的变量（1 表示随机化分到非鼓励组；0 表示随机化分到鼓励组）；$D$ 表示最终接受处理与否（1 表示接受处理；0 表示接受对照）；$Y$ 是结果变量。为了定义因果作用，我们引进如下的潜在结果：$(Y_i(1), Y_i(0))$ 表示个体 $i$ 接受处理和对照下 $Y$ 的潜在结果；$(D_i(1), D_i(0))$ 表示个体 $i$ 非鼓励组和鼓励组下 $D$ 的潜在结果。由于随机化，下面的假定自然的成立：
         </p>
         <p>
          （随机化）$Z_i \perp \{ D_i(1), D_i(0), Y_i(1), Y_i(0) \}.$
         </p>
         <p>
          根据鼓励性实验的机制，个体在受到鼓励的时候，更加不可能吸烟，因为下面的单调性也是很合理的：
         </p>
         <p>
          （单调性）$D_i(1) \leq D_i(0).$
         </p>
         <p>
          由于个体的结果 $Y$ 直接受到所受的处理 $D$ 的影响，而不会受到是否受鼓励 $Z$ 的影响，下面的排除约束（exclusion restriction）的假定，很多时候也是合理的：
         </p>
         <p>
          （排除约束）$D_i(1) = D_i(0) $ 蕴含着 $Y_i(1) = Y_i(0)$.
         </p>
         <p>
          上面的假定表明，当随机化的“鼓励” $Z$ 不会影响是否接受处理 $D$ 时，随机化的“鼓励” $Z$ 也不会影响结果变量 $Y$。也可以理解成，随机化的“鼓励” $Z$ 仅仅通过影响是否接受处理 $D$ 来影响结果 $Y$，或者说，随机化“鼓励” $Z$ 本身对与结果变量 $Y$ 没有“直接作用”。
         </p>
         <p>
          以上三个假定下，我们得到：
         </p>
         <p>
          \begin{eqnarray*}
          <br/>
          &amp;&amp;ACE(Z \rightarrow Y) \\
          <br/>
          &amp; = &amp; E\{Y_i(1)\} -E\{Y_i(0)\} \\
          <br/>
          &amp;=&amp; P\{ D_i(1)=1, D_i(0)=0\} E\{Y_i(1)-Y_i(0)\mid D_i(1)=1, D_i(0)=0 \}\\
          <br/>
          &amp;&amp;+ P\{ D_i(1)=0, D_i(0)=0\} E\{Y_i(1)-Y_i(0)\mid D_i(1)=0, D_i(0)=0 \}\\
          <br/>
          &amp;&amp;+P\{ D_i(1)=1, D_i(0)=1\} E\{Y_i(1)-Y_i(0)\mid D_i(1)=1, D_i(0)=1 \}\\
          <br/>
          &amp;=&amp; P\{ D_i(1)=1, D_i(0)=0\} E\{Y_i(1) -Y_i(0)\mid D_i(1)=1, D_i(0)=0 \}.
          <br/>
          \end{eqnarray*}
         </p>
         <p>
          单调使得 $D$ 的潜在结果的组合只有三种；排除约束假定使得上面分解的后两个式子为 $0$。由于对于 $(D_i(1)=0, D_i(0)=0)$ 和 $(D_i(1)=1, D_i(0)=1)$ 两类人，随机化的“鼓励”对于 $D$ 的作用为 $0$，$(D_i(1)=1, D_i(0)=0)$ 一类人的比例就是 $Z$ 对 $D$ 平均因果作用：$ACE(Z\rightarrow D) = P\{ D_i(1)=1, D_i(0)=0\} $. 因此，
         </p>
         <p>
          $$
          <br/>
          CACE= E\{Y_i(1)-Y_i(0)\mid D_i(1)=1, D_i(0)=0 \} = \frac{ ACE(Z \rightarrow Y) }{ ACE(Z\rightarrow D) }.
          <br/>
          $$
         </p>
         <p>
          上面的式子被定义为 $CACE$ 是有理由的。它表示的是子总体 $(D_i(1)=1, D_i(0)=0)$ 中，随机化对于结果的因果作用；由于这类人中随机化和接受的处理是相同的，它也表示处理对结果的因果作用。这类人接受处理与否完全由于是否接受鼓励而定，他们被成为“依从者”（complier），因为这类人群中的平均因果作用又被成为“依从者平均因果作用”（CACE：complier average causal effect）;计量经济学家称它为“局部处理作用”（LATE：local average treatment effect）。
         </p>
         <p>
          由于 $Z$ 是随机化的，它对于 $D$ 和 $Y$ 的平均因果作用都是显而易见可以得到的。因为 $\widehat{ACE}(Z\rightarrow D) = \bar{D}_1 – \bar{D}_0, \widehat{ACE}(Z\rightarrow Y) = \bar{Y}_1 – \bar{Y}_0$，CACE 的一个矩估计便是
         </p>
         <p>
          $$ \frac{\widehat{ACE}(Z\rightarrow Y)  } {  \widehat{ACE}(Z\rightarrow D)   } = \widehat{\beta}_{IV}.$$
         </p>
         <p>
          由此可见工具变量估计量的因果含义。上面的讨论既显示了工具变量对于识别因果作用的有效性，也揭示了它的局限性：我们只能识别某个子总体的平均因果作用；而通常情况下，我们并不知道某个个体具体属于哪个子总体。
         </p>
         <h2>
          四 实例
         </h2>
         <p>
          这部分给出具体的例子来说明上理论的应用，具体计算用到了第五部分的一个函数（其中包括用delta方法算的抽样方差）。这里用到的数据来自一篇政治学的文章 Green et al. (2003) “Getting Out the Vote in Local Elections: Results from Six Door-to-Door Canvassing Experiments”，
          <a href="http://dvn.iq.harvard.edu/dvn/faces/study/StudyPage.xhtml?globalId=hdl:1902.1/21729&amp;studyListingIndex=5_c49f1060ddaa41a23e5759168940" target="_blank">
           数据点击此处可以在此下载
          </a>
          。
         </p>
         <p>
          文章目的是研究某个社会实验是否能够提到投票率，实验是随机化的，但是并非所有的实验组的人都依从。因此这里的变量 $Z$ 表示随机化的实验，$D$ 表示依从与否，$Y$ 是投票与否的示性变量。具体的数据描述，可参加前面提到的文章。
         </p>
         <p>
          原始数据总结如下：
         </p>
         <p>
          <a href="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/08/table1.png">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/08/table1.png"/>
          </a>
         </p>
         <p>
          根据下一个部分的函数，我们得到如下的结果：
         </p>
         <pre> 
&gt; CACE.IV(Y, D, Z)
$CACE
[1] 0.07914375

$se.CACE
           [,1]
[1,] 0.02273439

$p.value
             [,1]
[1,] 0.0004991073

$prob.complier
[1] 0.2925123

$se.complier
[1] 0.004871619</pre>
         <p>
          由此可见，这个实验对于提高投票率，有显著的作用。
         </p>
         <h2>
          五 R code
         </h2>
         <pre>## function for complier average causal effect
CACE.IV = function(outcome, treatment, instrument)
{
Y = outcome
D = treatment
Z = instrument
N = length(Y)

Y1 = Y[Z == 1]
Y0 = Y[Z == 0]
D1 = D[Z == 1]
D0 = D[Z == 0]

mean.Y1 = mean(Y1)
mean.Y0 = mean(Y0)
mean.D1 = mean(D1)
mean.D0 = mean(D0)

prob.complier = mean.D1 - mean.D0
var.complier  = var(D1)/length(D1) + var(D0)/length(D0)
se.complier   = var.complier^0.5

CACE = (mean.Y1 - mean.Y0)/(mean.D1 - mean.D0)

## COV
pi1 = mean(Z)
pi0 = 1 - pi1

Omega = c( var(Y1)/pi1, cov(Y1, D1)/pi1, 0, 0,
           cov(Y1, D1)/pi1, var(D1)/pi1, 0, 0,
           0, 0, var(Y0)/pi0, cov(Y0, D0)/pi0,
           0, 0, cov(Y0, D0)/pi0, var(D0)/pi0 )
Omega = matrix(Omega, byrow = TRUE, nrow = 4)

## Gradient
Grad = c(1, -CACE, -1, CACE)/(mean.D1 - mean.D0)

COV.CACE = t(Grad)%*%Omega%*%Grad/N

se.CACE = COV.CACE^0.5

p.value = 2*pnorm(abs(CACE/se.CACE), 0, 1, lower.tail = FALSE)

##results
res = list(CACE          = CACE,
           se.CACE       = se.CACE,
           p.value       = p.value,
           prob.complier = prob.complier,
           se.complier   = se.complier)

return(res)

}</pre>
         <div class="wumii-hook">
          <br/>
          <br/>
         </div>
        </div>
        <!-- .entry-content -->
        <footer class="entry-meta">
         <div class="author-info">
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          <div class="author-description">
           <h2 class="author-title">
            关于丁鹏
           </h2>
           <p class="author-bio">
            Department of Statistics, Harvard University;
Research interest: causal inference;
Homepage: http://sites.google.com/site/pengdingpku/
            <a class="author-link" href="http://cos.name/author/dingpeng/" rel="author">
             查看所有由丁鹏发表的文章
             <span class="meta-nav">
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             </span>
            </a>
           </p>
          </div>
          <!-- .author-description -->
         </div>
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        </footer>
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       </article>
       <!-- #post -->
       <nav class="navigation post-navigation" role="navigation">
        <h1 class="screen-reader-text">
         文章导航
        </h1>
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          R 中大型数据集的回归
         </a>
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          COS数据分析沙龙第十三期（北京）
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         </a>
        </div>
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       </nav>
       <!-- .navigation -->
       <div class="comments-area" id="comments">
        <h2 class="comments-title">
         《
         <span>
          因果推断简介之六：工具变量（instrumental variable）
         </span>
         》有13个想法
        </h2>
        <ol class="comment-list">
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-4746">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4746">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              yufree
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4746">
              <time datetime="2013-08-30T21:19:21+00:00">
               2013/08/30 21:19
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             &gt; “工具变量估计”是 β 的相合估计量
            </p>
            <p>
             这个证明思路很精彩，调查实验的混杂因素U可以用控制变量Z的方法进行部分排除，而控制的变量Z没有与Y的直接联系而要与X有联系，那实际的问题就得转换到寻找Z变量了。
            </p>
            <p>
             另外，如果Z与Y直接相关，相当于Z也成了U的一部分了。那如果逆转思路，不限定Z与Y的不相关而容许部分直接相关（但不能影响到计算β值），通过使用大量的工具变量Z，能不能得到β的一个不可能分布空间呢？其实就是用U去估计不可能β值，排除掉不可能，剩下的就可能是真的或者排除掉的为假的可能性更高。不过似乎可操作性不高。本人统计外行，瞎想的。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment odd alt depth-2" id="comment-4759">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4759">
             <footer class="comment-meta">
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               <b class="fn">
                pengding
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4759">
                <time datetime="2013-09-02T06:31:34+00:00">
                 2013/09/02 06:31
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               这些想法很有意思，不过如何严格化且清晰的表达出来，还不是一件容易的事情。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-4747">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4747">
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             <b class="fn">
              Gao Tao
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4747">
              <time datetime="2013-08-30T21:35:41+00:00">
               2013/08/30 21:35
              </time>
             </a>
            </div>
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           <div class="comment-content">
            <p>
             再添加一些混杂因素进来怎么处理呢？按之前的倾向得分抑或因果图？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment odd alt depth-2 parent" id="comment-4748">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4748">
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               <b class="fn">
                yufree
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
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                <time datetime="2013-08-30T22:22:16+00:00">
                 2013/08/30 22:22
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
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             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               我感觉寻找Z跟寻找U的实际难度似乎差不多，都是对着X，Y来，操作起来控制Z与Y不直接相关不太容易，所以就把Z当混杂因素去计算，算出来的数应该有一个分布，这个分布有可能拿来做β或非β的估计。
              </p>
              <p>
               可能我水平太次，感觉工具变量算是倾向得分或因果图的应用，而倾向得分或因果图说的像是一回事，都是通过第三方可控随机干预也就是Z来解决因果推断问题，而因果关系也只能通过总体去看。而解决实际问题的难点在寻找Z甚至X上。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment even depth-3" id="comment-4761">
              <article class="comment-body" id="div-comment-4761">
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                <div class="comment-author vcard">
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                 <b class="fn">
                  pengding
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4761">
                  <time datetime="2013-09-02T06:34:02+00:00">
                   2013/09/02 06:34
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
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               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 工具变量的寻找，依赖于先验知识，或者说关于整个数据的生成机制。在很多时候，缺失不是那么容易找到的。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
           <li class="comment odd alt depth-2 parent" id="comment-4760">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4760">
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               <b class="fn">
                pengding
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4760">
                <time datetime="2013-09-02T06:32:18+00:00">
                 2013/09/02 06:32
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
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             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               U其实囊括了所有的混杂因素，是一个抽象的符号，可以是一维，也可以是高维。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment even depth-3 parent" id="comment-4775">
              <article class="comment-body" id="div-comment-4775">
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                 <b class="fn">
                  Gao Tao
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
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                  <time datetime="2013-09-03T11:44:22+00:00">
                   2013/09/03 11:44
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
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               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 那如果是高维的话，寻找工具变量岂不真的很难找啊…
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
             <li class="comment odd alt depth-3 parent" id="comment-4784">
              <article class="comment-body" id="div-comment-4784">
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                 <b class="fn">
                  pengding
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4784">
                  <time datetime="2013-09-04T05:40:31+00:00">
                   2013/09/04 05:40
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
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               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 通常情况 ，其实很少有高维的处理或者干预—高维都是在协变量上。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
             <li class="comment even depth-3 parent" id="comment-4785">
              <article class="comment-body" id="div-comment-4785">
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                <div class="comment-author vcard">
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                 <b class="fn">
                  Gao Tao
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4785">
                  <time datetime="2013-09-04T10:25:52+00:00">
                   2013/09/04 10:25
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 我意思是U是高维的时候~不过工具变量确实是一种化繁为简的好方法
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
             <li class="comment odd alt depth-3" id="comment-4810">
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                 <b class="fn">
                  pengding
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-4810">
                  <time datetime="2013-09-06T23:07:09+00:00">
                   2013/09/06 23:07
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
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               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 U高维低维在这个框架下是无所谓的，因为U可以任意。
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-4749">
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            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              Bing
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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              <time datetime="2013-08-31T12:42:28+00:00">
               2013/08/31 12:42
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             Znot perp D的条件在浏览器上似乎没有正确显示。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Bing" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/?replytocom=4749#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4749", "4749", "respond", "5166" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-5154">
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             <b class="fn">
              Sophie
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
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             <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-5154">
              <time datetime="2013-12-05T11:15:25+00:00">
               2013/12/05 11:15
              </time>
             </a>
            </div>
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           <div class="comment-content">
            <p>
             麻烦问一下po主，引入IV后，重新写regression model的时候该怎么表达？如果以equation (1) 为例？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Sophie" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/?replytocom=5154#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5154", "5154", "respond", "5166" )' rel="nofollow">
             回复
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           </div>
          </article>
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          <ol class="children">
           <li class="comment even depth-2" id="comment-5155">
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               <b class="fn">
                pengding
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/#comment-5155">
                <time datetime="2013-12-06T01:17:49+00:00">
                 2013/12/06 01:17
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
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             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               不变
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给pengding" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/08/causality6-instrumental-variable/?replytocom=5155#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5155", "5155", "respond", "5166" )' rel="nofollow">
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              </a>
             </div>
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            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
        </ol>
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           我们将第一时间向您推送主站和论坛的精彩内容，以及统计之都的线下活动、竞赛、培训和会议信息。
          </p>
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          <li>
           <a href="http://stat.ruc.edu.cn" target="_blank" title="中国人民大学统计学院网站">
            中国人民大学统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://rucdmc.net">
            中国人民大学数据挖掘中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://birc.gsm.pku.edu.cn/" target="_blank">
            北京大学商务智能研究中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://sam.cufe.edu.cn/" target="_blank" title="中央财经大学统计与数学学院网站">
            中央财经大学统计与数学学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://tjx.cueb.edu.cn/" target="_blank" title="首都经济贸易大学统计学院网站">
            首经贸统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.shookr.com/">
            数客网大数据社区
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.xueqing.tv/" target="_blank" title="数据科学在线学习平台">
            雪晴数据网
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://iera.name/" target="_blank" title="IERA是一个旨在普及、传播和增进工业工程知识的非营利性网站">
            IERA（直通IE）
           </a>
          </li>
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          </option>
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           <span class="comment-author-link">
            fineboom
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/use-shiny-fleetly-set-up-visual-prototype-system/#comment-7317">
            利用shiny包快速搭建可视化原型系统
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            胡家新
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7316">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            <a class="url" href="http://www.zijiacha.com/category.php?id=6" rel="external nofollow">
             南糯山普洱茶
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7315">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            J
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/05/value-of-the-reputation-from-the-data/#comment-7314">
            数据告诉你：高信誉的卖家应该收高价，还是收低价？
           </a>
           》
          </li>
          <li class="recentcomments">
           <span class="comment-author-link">
            <a class="url" href="http://gg" rel="external nofollow">
             Hilda
            </a>
           </span>
           发表在《
           <a href="http://cos.name/2013/01/drawing-map-in-r-era/#comment-7311">
            R时代，你要怎样画地图？
           </a>
           》
          </li>
         </ul>
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            处理时间数据和产生时间序列的问题
           </a>
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          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/6790/">
            《统计陷阱》下载 （How to lie with statistics）
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          </li>
          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/818/">
            统计学的世界（第五版）
           </a>
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            class(x) 返回值值是AsIs,AsIs代表什么，有什么用处？
           </a>
          </li>
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           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/417366/">
            如何用R绘制一个分类算法的决策规则
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